Todo número é divisível por 1. Seja p um número qualquer e p/p=1, então p/1=p.
Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8. É bastante evidente pela definição que um número divisível por 2 é par.
8:2 = 4
106:2 = 53
2346:2 = 1173
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Não é tão simples, nem óbvio mostrar um argumento para justificar esse critério. Considere um número formado por três algarismos ABC, por exemplo, o 237. Logo o A=2, B=3 e C=7. De acordo com o nosso sistema de numeração decimal, podemos escrevê-lo da seguinte forma:
= 100 a + 10 b + c
= (99a + a) + (9b + b) + c
= (99 a + 9 b) + (a + b + c)
= 3(33 a + 3 b) + (a + b + c)
= 3(33.2 + 3.3) + (2 + 3 + 7)
= 3(66+9) + (12)
= 3(75) + (12)
= 225 +12 = 237
Quando somamos dois múltiplos de um número k, o resultado também é um múltiplo de k. Isto é, a soma dos números (a + b + c) necessariamente tem que ser um múltiplo de 3, visto que 3(33 a + 3 b) já é múltiplo de 3.
Divisibilidade por 4
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4.
Sabemos que a soma de múltiplos de 4, também, é múltiplo de 4. Para exemplificar usaremos o número 5812, que pode ser expresso por (5)(1000) + (8)(100) + (1)(10) + 2. Vemos que (1)(10) + 2 resulta num múltiplo de 4, pois 12 : 2=6, mas será que os outros também são?
= (5)(1000)
= (5)(4)(250)
= (4) (1250), é múltiplo de 4
= (8)(100)
= (8)(4)(25)
= (4)(200), é múltiplo de 4
O número 100 é o menor número múltiplo de 10 que é divisível por 4, pois não existe x natural para 4x=10. Logo todos os números das centenas, unidades de milhar, etc., são divisíveis por 4. Por isso, analisamos apenas os dois últimos algarismos.
Divisibilidade por 5
Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5.
75:5 = 15
200:5 = 40
Divisibilidade por 6
Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo tempo.
Podemos justificar esse critério pela definição de divisor de um número. Se um número q divide o número p, então: p=qr. Suponhamos que o número 6 divide p, temos que p=6r = (2)(3)r.
Divisibilidade por 7
Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se o resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7.
203 : 7 = 29, pois 2*3 = 6 e 20 – 6 = 14
294 : 7 = 42, pois 2*4 = 8 e 29 – 8 = 21
840 : 7 = 120, pois 2*0 = 0 e 84 – 0 = 84
Divisibilidade por 8
Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os últimos três números forem divisíveis por 8.
1000 : 8 = 125, pois termina em 000
1208 : 8 = 151, pois os três últimos são divisíveis por 8, 208:8= 26
Divisibilidade por 9
É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9.
90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9
1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27
Demonstração idêntica ao critério de divisibilidade por 3.
Divisibilidade por 10
Todo número terminado em 0 será divisível por 10
50:10 = 5
2000:10 = 200
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11.
1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66
Divisibilidade por 12
São os números divisíveis por 3 e 4.
276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69
672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168
Divisibilidade por 13
Separe o algarismo das unidades e multiplique por 4. Adicione o número formado com os algarismos que não foram separados.
52 é divisível por 13, porque 5 + 4·2 = 13 que é divisível por 13.
208 é divisível por 13, porque 20 + 4·8 = 52 que é divisível por 13.
113 não é divisível por 13, porque 11 + 4·3 = 23 que não é divisível por 13.
80 não é divisível por 13, porque 8 + 4·0 = 8 que não é divisível por 13.
Divisibilidade por 14
Um número natural é divisível por 14 quando é divisível por 7 e por 2.
70 é divisível por 14, porque é divisível por 7 e por 2.
30 não é divisível por 14, porque não é divisível por 7.
Divisibilidade por 15
Um número natural é divisível por 15 quando é divisível por 5 e por 3 ao mesmo tempo.
60 é divisível por 15, porque é divisível por 5 e por 3.
20 não é divisível por 15, porque não é divisível por 3
Divisibilidade por 16
Um número natural é divisível por 16 se o número formado pelos 4 últimos algarismos for divisível por 16.
123.560.016 é divisível por 16, porque termina por 0016 e 16 é divisível por 16.
416.161.161.160.017 não é divisível por 16, porque termina por 0017 e 17 não é divisível por 16.
Divisibilidade por 17
Separe o algarismo das unidades e multiplique por 5. Subtraia esse resultado ao número formado com os algarismos que não foram separados.
204 é divisível por 17, porque |20 - 5·0| = |0| = 0 que é divisível por 17.
187 é divisível por 17, porque |18 - 5·7| = |-17| = 17 que é divisível por 17.
77 não é divisível por 17, porque |7 - 5·7| = |-28| = 28 que não é divisível por 17.
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