segunda-feira, 12 de novembro de 2012

CONJUNTOS NUMÉRICOS


Existem tantos números que é preciso organizá-los em conjuntos, os Conjuntos Numéricos. Cada conjunto tem como elementos todos os números que guardam entre si algumas características em comum. Tendo conhecimento sobre esses conjuntos é possível fazer operações e resolver problemas.

Temos então os seguintes conjuntos numéricos:

  • Conjunto dos números Naturais
  • Conjunto dos números Inteiros
  • Conjunto dos números Racionais
  • Conjunto dos números Irracionais
  • Conjunto dos números Reais 
  • Conjunto dos números Complexos


Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}

Conjunto dos Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:

Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z+:

Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …}

- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:

Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Z*+ = N*

- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.

Z*- = {… -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.

Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 …. Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)

Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.

Conjunto dos Números Complexos
É formado pelo número imaginário na forma bi, sendo b um número real e i a parte imaginária, para resolver problemas do tipo:
Para isso foi criado uma relação fundamental:

Forma algébrica
A forma algébrica pela qual representaremos um número complexo será a + bi, como a e b Є R.
A forma algébrica de representar um número complexo é mais prática e mais utilizada nos cálculos.

Definindo as partes que formam um número complexo z = a + bi.
z é um número complexo qualquer.
a é a parte real do número complexo z.
b é a parte imaginária do número complexo z.

O conjunto dos números que formam a parte real é representado por Re (z).
O conjunto dos números que formam a parte imaginária é representado por Im (z).

Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo:
z = -5 + 10i
Re(z) = -5
Im(z) = 10

z = 1/2 + (1/3)i
Re(z) = 1/2
Im(z) = 1/3

As coordenadas a e b podem assumir qualquer valor real, dependendo do valor que eles assumirem o número complexo irá receber um nome diferente:
Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número complexo é imaginário:
z = 2 + 5i

Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo é imaginário puro:
z = 0 + 2i
z = 2i

Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo será real.
z = 5 – 0i
z = 5


sábado, 10 de novembro de 2012

COMO LOCALIZAR NÚMEROS IRRACIONAIS EM UMA RETA NUMÉRICA


A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginá-la cheia de "buracos". Por ser um conceito complexos podemos abordá-lo usando os conhecimentos de plano cartesiano. Primeiramente, precisam construir um plano cartesiano e, em seguida, traçar uma semicircunferência de diâmetro igual ao radicando, de modo que as extremidades do diâmetro sejam os pontos de coordenadas (0;0) e (radicando;0). Assim, o centro da circunferência estará sobre x =radicando/2 .

Vamos ilustrar a √ 7:
O próximo passo será traçar um segmento perpendicular ao eixo das abscissas no ponto D de coordenadas (1; 0). O ponto de intersecção com a semicircunferência é chamado de E. O segmento DE será apoio na determinação da raiz quadrada procurada. 




No triângulo DEO, há EO = 3,5 (raio da semicircunferênica), DO = 2,5 (ver escala do eixo x). Ao aplicar o Teorema de Pitágoras, será encontrada a medida DE = 2,45. 



Aponte as medidas dos catetos DE = 2,45 e AD = 1. Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE, descobriremos que a hipotenusa AE mede raiz quadrada de 7 , que é o valor procurado. 



Aponte as medidas dos catetos DE = 2,45 e AD = 1. Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE, descobriremos que a hipotenusa AE mede raiz quadrada de 7 , que é o valor procurado. 

CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE




Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1. Seja p um número qualquer e p/p=1, então p/1=p.

Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8. É bastante evidente pela definição que um número divisível por 2 é par.
8:2 = 4
106:2 = 53
2346:2 = 1173

Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Não é tão simples, nem óbvio mostrar um argumento para justificar esse critério. Considere um número formado por três algarismos ABC, por exemplo, o 237. Logo o A=2, B=3 e C=7. De acordo com o nosso sistema de numeração decimal, podemos escrevê-lo da seguinte forma:

= 100 a + 10 b + c
= (99a + a) + (9b + b) + c
= (99 a + 9 b) + (a + b + c)
= 3(33 a + 3 b) + (a + b + c)
= 3(33.2 + 3.3) + (2 + 3 + 7)
= 3(66+9) + (12)
= 3(75) + (12)
= 225 +12 = 237
Quando somamos dois múltiplos de um número k, o resultado também é um múltiplo de k. Isto é, a soma dos números (a + b + c) necessariamente tem que ser um múltiplo de 3, visto que 3(33 a + 3 b) já é múltiplo de 3.

Divisibilidade por 4
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4.
Sabemos que a soma de múltiplos de 4, também, é múltiplo de 4. Para exemplificar usaremos o número 5812, que pode ser expresso por (5)(1000) + (8)(100) + (1)(10) + 2. Vemos que (1)(10) + 2 resulta num múltiplo de 4, pois 12 : 2=6, mas será que os outros também são?
= (5)(1000)
= (5)(4)(250)
= (4) (1250), é múltiplo de 4

= (8)(100)
= (8)(4)(25)
= (4)(200), é múltiplo de 4
O número 100 é o menor número múltiplo de 10 que é divisível por 4, pois não existe x natural para 4x=10. Logo todos os números das centenas, unidades de milhar, etc., são divisíveis por 4. Por isso, analisamos apenas os dois últimos algarismos.

Divisibilidade por 5
Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5.
75:5 = 15
200:5 = 40

Divisibilidade por 6
Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo tempo.
Podemos justificar esse critério pela definição de divisor de um número. Se um número q divide o número p, então: p=qr. Suponhamos que o número 6 divide p, temos que p=6r = (2)(3)r.

Divisibilidade por 7
Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se o resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7.
203 : 7 = 29, pois 2*3 = 6 e 20 – 6 = 14
294 : 7 = 42, pois 2*4 = 8 e 29 – 8 = 21
840 : 7 = 120, pois 2*0 = 0 e 84 – 0 = 84

Divisibilidade por 8
Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os últimos três números forem divisíveis por 8.
1000 : 8 = 125, pois termina em 000
1208 : 8 = 151, pois os três últimos são divisíveis por 8, 208:8= 26

Divisibilidade por 9
É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9.
90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9
1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27
Demonstração idêntica ao critério de divisibilidade por 3.

Divisibilidade por 10
Todo número terminado em 0 será divisível por 10
50:10 = 5
2000:10 = 200

Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11.
1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66

Divisibilidade por 12
São os números divisíveis por 3 e 4.
276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69
672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168

Divisibilidade por 13 
Separe o algarismo das unidades e multiplique por 4. Adicione o número formado com os algarismos que não foram separados.
52 é divisível por 13, porque 5 + 4·2 = 13 que é divisível por 13.
208 é divisível por 13, porque 20 + 4·8 = 52 que é divisível por 13.
113 não é divisível por 13, porque 11 + 4·3 = 23 que não é divisível por 13.
80 não é divisível por 13, porque 8 + 4·0 = 8 que não é divisível por 13.

Divisibilidade por 14
Um número natural é divisível por 14 quando é divisível por 7 e por 2.
70 é divisível por 14, porque é divisível por 7 e por 2.
30 não é divisível por 14, porque não é divisível por 7.

Divisibilidade por 15
Um número natural é divisível por 15 quando é divisível por 5 e por 3 ao mesmo tempo.
60 é divisível por 15, porque é divisível por 5 e por 3.
20 não é divisível por 15, porque não é divisível por 3

Divisibilidade por 16
Um número natural é divisível por 16 se o número formado pelos 4 últimos algarismos for divisível por 16.
123.560.016 é divisível por 16, porque termina por 0016 e 16 é divisível por 16.
416.161.161.160.017 não é divisível por 16, porque termina por 0017 e 17 não é divisível por 16.

Divisibilidade por 17 
Separe o algarismo das unidades e multiplique por 5. Subtraia esse resultado ao número formado com os algarismos que não foram separados.
204 é divisível por 17, porque |20 - 5·0| = |0| = 0 que é divisível por 17.
187 é divisível por 17, porque |18 - 5·7| = |-17| = 17 que é divisível por 17.
77 não é divisível por 17, porque |7 - 5·7| = |-28| = 28 que não é divisível por 17.

terça-feira, 6 de novembro de 2012

RETA NUMÉRICA

A reta numérica é uma uma forma de apresentação eficaz quando queremos ensinar a localização dos números, a sua composição e seu valor posicional, assim como realizar cálculos de adição e subtração. Pode ser trabalhada com crianças do 1º ano, porém, devemos ressaltar que esse tipo de abordagem é complexa e abstrata, no qual a criança precisa ter conhecimentos prévios como os números de 1 a 20.
Essa é uma maneira de diversificar os cálculos, não se prendendo, somente, aos algoritmos. De acordo com McIntosh, Reys & Reys (1992):
"O sentido do número refere-se à compreensão geral do número e das operações em paralelo com a habilidade para usar esta compreensão, de modo flexível, para fazer juízos matemáticos e para desenvolver estratégias úteis para lidar com números e operações."

  • Adição
Duas turmas da manhã fizeram uma excursão. Participaram 35 alunos de uma turma e 24 da outra. Quantos alunos participaram ao todo?

Podemos resolver das seguintes formas:


  • Subtração
Havia 65 ovos numa caixa. Quebraram-se 17 ovos. Quantos ficaram?

Podemos resolver das seguintes formas:


PROJETO OBRIGA PAIS A ACOMPANHAREM DESEMPENHO DOS FILHOS NA ESCOLA


Pela proposta discutida no Senado, pais serão multados se não forem ao colégio a cada dois meses.




O pai ou responsável que não comparecer à escola e acompanhar o desempenho de seu filho poderá ser punido. Projeto de lei com esse objetivo já recebeu parecer favorável e está pronto para ser votado na Comissão de Educação, Cultura e Esporte do Senado.

O senador Cristovam Buarque (PDT/DF), autor da proposta, afirma que a educação é um direito de toda criança e que a participação dos pais é essencial no processo educativo. “A escola sozinha não consegue cumprir integralmente o papel de formadora. A educação não se faz apenas pela escola, isolada da responsabilidade e da ação dos pais no acompanhamento do desempenho de seus filhos”, afirma.

A proposta prevê que o responsável deva comparecer na escola, seja ela pública ou privada, pelo menos uma vez a cada dois meses. Será considerada presença o comparecimento em reuniões de pais e mestres, ou conversas individuais com o professor, sempre atestadas pela direção da unidade estudantil.

Para o relator do projeto, senador João Capiberibe (PSB/AP), o fato de os pais matricularem seus filhos em escolas não tira a responsabilidade deles de monitorar e acompanhar o desenvolvimento educacional da criança ou do adolescente.

Penalidade

As penalidades para o não cumprimento da lei serão as mesmas previstas no Código Eleitoral para quem deixa de votar. Dentre elas, uma multa de 3% a 10% sobre o salário-mínimo, além da proibição de inscrição em concurso público, receber salário ou participar de cargos públicos; solicitar empréstimos em estabelecimentos de crédito mantidos pelo governo e obter passaporte ou carteira de identidade.

Em pesquisa feita pelo Alô Senado, a população diverge sobre o assunto. Para o cidadão Leonardo dos Santos Marques Gomes, de Ivinhema (MS), a proposta é positiva.

"Eu concordo com essa iniciativa, pois tem muitos pais que se omitem em saber como anda o desempenho do filho na escola. Na grande maioria das escolas, ocorre de apenas de um pai aparecer nas reuniões, o que é lamentável. Apoio em 100%. Pai preocupado com o filho é educação garantida e Brasil produzindo com qualidade", afirmou Leonardo.

No entanto, Lidiane Lima Santos, de Belo Horizonte (MG), é contrária à proposta. Ela afirma que muitos pais, para proporcionar um bom estudo a seus filhos, trabalham em dois empregos, o que em sua opinião dificulta a presença deles nas escolas.

"São muitos impostos e o salário é pouco, por isso muitos optam por trabalhar em mais de um lugar para dar estudo às crianças. Qual é a hora que esse pai ou mãe vai conseguir ir à escola do seu filho?", critica Lidiane Santos.

Após analise da Comissão de Educação, a matéria segue para a de Constituição, Justiça e Cidadania em caráter terminativo.

http://www.estadao.com.br/noticias/vidae,projeto-obriga-pais-a-acompanharem-desempenho-dos-filhos-na-escola,953004,0.htm